偏光（偏波）をインタラクティブなグラフで描画

投稿日：2020年3月11日更新日：2022年9月19日

内容

偏光（偏波）をインタラクティブなグラフで表現
強度比と位相差による偏波の変化について

動機

Pythonにはいろいろなグラフ作成ライブラリがありますが、中でもインタラクティブな（グリグリ動かせる）グラフが作れるplotlyというライブラリがあります。
興味が湧き、前回の記事で扱ったような偏光の様子がみられれぱ、より理解が深まるのでは、ということでplotlyを使って偏光を表すグラフを作ってみました。

内容
動機
インタラクティブなグラフ
偏光の条件
- 直線偏光
- 円偏光
まとめ

インタラクティブなグラフ

plotlyを使ったグラフ

プロットしているものは以下の通りです（ここでは複素数は用いていません）。

青メッシュ: x方向の波 $E_x=A_x \cos(2\pi z)$
赤メッシュ : y方向の波 $E_y=A_y \cos(2\pi z+\phi)$
黒線（細）: $E_x$と$E_y$によって作られる偏光
黒線（太）:$E_x$と$E_y$によって作られる偏光（$x-y$平面上にプロット）

($A_x$ ($A_y$): $E_x$ ($E_y$)の強度, $\phi$: $E_x$と$E_y$の位相差)

※ $A_x^2+A_y^2=1$を満たす。

グラフの操作

左クリックしながらマウス移動で、角度変更
右クリックしながらマウス移動で、平行移動
マウスホイールで、拡大縮小

となっています。右上の方にあるアイコンでカメラ位置をリセットしたりできます。またグラフの下にある2つのスライダーで縦・横方向の波の位相差$\phi$と強度比$A_x/A_y$が変えられます。

ソースコード(Python)

【表示する】

  # %%
import plotly.graph_objects as go
import plotly.offline as py
import numpy as np
py.init_notebook_mode(connected=True)
#%%
def makeMesh(x):
    x=np.hstack((0,x,99))
    elem0=np.abs(x)<1e-10 
    elenum0=np.where(elem0)[0]
    u0=elenum0[np.cumsum(elem0)-1]
    u=(np.delete(u0,elenum0))[:-1]
    v0=np.arange(len(u0))
    v=(np.delete(v0,(elenum0)))[:-1]
    w=v+1
    return u,v,w
#%%
z=np.pi*np.linspace(0,5,51)
z2=np.hstack((0,z,z[-1]))
fig=go.Figure()
#%%
x=np.cos(z)
ux,vx,wx=makeMesh(x)
x=np.hstack((0,x,0))
#%%
phi = np.pi/2
y=np.cos(z+phi)
uy,vy,wy=makeMesh(y)
y=np.hstack((0,y,0))
#%%
for j in range(11): 
    Ax=j/10. #Ax:0-1
    x2=Ax*x
    Ay=np.sqrt(1-np.square(Ax))  #Ay=sqrt(1-Ay^2)
    y2=Ay*y
    fig.add_trace(
        go.Mesh3d(
        x=0*z2, y=y2, z=z2,
        i=uy, j=vy, k=wy,
        opacity=0.4,
        scene = 'scene1',
        visible = False,
        name = "<i>E</i><sub>Y</sub>",
        hoverinfo="name",
    ))
    fig.add_trace(
        go.Mesh3d(
        x=x2, y=0*z2, z=z2,
        i=ux, j=vx, k=wx,
        opacity=0.4,
        scene='scene1',
        visible=False,
        name = "<i>E</i><sub>X</sub>",
        hoverinfo="name",
    ))
    fig.add_trace(
        go.Scatter3d(
        x=x2[1:-1], y=y2[1:-1], z=z2[1:-1],
        mode='lines',
        line=dict(
            color='#1f0000',
            width=1
        ),
        scene='scene1',
        visible=False,
        name = "<i>E</i>",
        hoverinfo="name",
    ))
    fig.add_trace(
        go.Scatter3d(
        x=x2[1:-1], y=y2[1:-1], z=z2[1:-1]*0.0,
        mode='lines',
        line=dict(
            color='#1f0000',
            width=4
        ),
        scene='scene1',
        visible=False,
        name = "<i>E</i> at x-y plane",
        hoverinfo="name",
    ))
#%%
fig.data[28].visible = True
fig.data[29].visible = True
fig.data[30].visible = True
fig.data[31].visible = True

fignum=4 # number of trace
steps1 = []
#%%
for i in np.arange(0, 11, 1):
    phi = np.pi*i/10
    y=np.cos(z+phi)
    uy,vy,wy=makeMesh(y)
    y=np.hstack((0,y,0))
    step1 = dict(
        method="restyle", 
        label='%d&#960;/10' % i, 
        args=[{"y": [0*z2]*len(fig.data),
               "i": [uy,ux,"",""]*int(len(fig.data)/fignum),
               "j": [vy,vx,"",""]*int(len(fig.data)/fignum),
               "k": [wy,wx,"",""]*int(len(fig.data)/fignum),
        }]
    )
    for j in range(11): 
        Ay=np.sqrt(1-np.square(j/10.))
        y2= Ay*y
        step1["args"][0]["y"][fignum*j] = y2  
        step1["args"][0]["y"][fignum*j+2] = y2[1:-1]
        step1["args"][0]["y"][fignum*j+3] = y2[1:-1]   
    steps1.append(step1)
#%%
steps2 = []
for j in range(int(len(fig.data) / fignum )):
        Ax=j/10.,
        step2 = dict(
            method="restyle",
            label="%.1f" % (np.sqrt(1-np.square(Ax))/Ax)[0],
            args=["visible", [False] * len(fig.data)],
        )
        step2["args"][1][fignum*j] = True  
        step2["args"][1][fignum*j+1] = True  
        step2["args"][1][fignum*j+2] = True  
        step2["args"][1][fignum*j+3] = True  
        steps2.append(step2)
#%%
sliders = [dict(
    active=5,
    currentvalue={"prefix": "phase <i>&#966;</i> = "},
    pad={"t": 0, "r":20, "l":10},
    steps=steps1
    ),dict(
    active=7,
    currentvalue={"prefix": "<i>A</i><sub>x</sub>/<i>A</i><sub>y</sub> = "},
    pad={"t": 80, "r":20, "l":10,"b":10},
    steps=steps2
)]
#%%
camera = dict(
    up=dict(x=0, y=0.5, z=0),
    center=dict(x=0, y=-0.2, z=0),
    eye=dict(x=1.2, y=0.5, z=0.9),
)

fig['layout'].update(
    scene_camera=camera,
    autosize=True,
    margin=dict(l=0.0, r=0.0, b=0.0, t=0),
    showlegend=False,
    sliders=sliders,
    paper_bgcolor='#414141',
    plot_bgcolor = '#ffe3e3',
    font = dict(color="#fff"),
    height=500, width=600)
fig['layout']['scene1'].update(aspectratio=dict(x=0.7,y=0.7,z=1.5),
    xaxis=dict(color="#fff" ,linecolor="#fff" ,gridcolor="#eee" ,range=[-1.,1.], showticklabels=False),
    yaxis=dict(color="#fff" ,linecolor="#fff" ,gridcolor="#eee" ,range=[-1.,1.], showticklabels=False),
    zaxis=dict(color="#fff" ,linecolor="#fff" ,gridcolor="#eee" ,showticklabels=False))
py.iplot(fig)

偏光の条件

直線偏光

$\phi=0$ or $\pi$のとき、すなわち$E_x$と$E_y$の波の山(谷)がそろっているときは、直線偏光となります。
このとき、$A_x/A_y$の値を変えると直線偏光の傾きが変化します。また$A_x/A_y=0$ or $\infty$のときは、
$\phi$の値に関わらず直線偏光になります（$A_x$, $A_y$のどちらかが0、つまり$E_x$, $E_y$のどちらかの成分が全くないという条件ですので）。

円偏光

$\phi=\pi/2$かつ$A_x/A_y=1$のときは、円偏光となります。波の山と谷のちょうど中間で、もう片方の波の山（谷）が来るタイミングとなるように$E_x$と$E_y$の位相がずれ、尚且つ縦・横の成分の大きさが等しい、という限定的な条件でのみ円偏光がみられるということですね。それ以外の条件では、直線偏光になる条件を除いて、楕円偏光になります。

まとめ

Pythonのplotlyを使って偏光を表したプロットを作成しました。横(x)方向と縦方向(y)の波の強度比を変えると、直線偏光の傾きが変わることや、位相差を操作することで円偏光が作り出せることが視覚的にわかると思います。
plotly面白いですが、なかなか思い通りに行かないこともありますね。スライダーで２つのパラメータ操作や、メッシュの生成に苦労しました…。

【plotly】偏光板、波長板を回転したときの偏波をグリグリしてみる | Y Lab Desk より:

2020年7月16日 9:07 PM

[…] 最近、偏光板や波長板を回転させて偏波を変化させる偏波コントローラを触る機会がありました。偏光板は直線偏光を一方向に切り出し、λ/2波長板は直線偏光の角度を変え、λ/4波長板は直線偏光を円偏光にする働きをするのは知っていましたが、それらを回転させたときに何が起こっているのかしっくりこなかったので、pythonのグラフ化ライブラリのplotlyでインタラクティブなグラフを作成して、簡単に偏波の動きを確認してみました。グラフのパラメータを変えたり、グリグリと視点を動かしたりしてみると、何となくつかめたものがある気がします。plotlyのグラフ自体は、以前の記事で作成したグラフに手を加えて作成しました。初めに光学素子を回転させたグラフを作成してみましたが光学素子の働きが把握しづらいと感じたため、光学素子は固定して入射光を回転させるグラフも作成しています（両者は視点が違うだけで、偏波の動きは同じ）。 […]

返信

takumi kobayashi より:

2022年9月16日 1:03 PM

はじめまして。コメント失礼します。
非常に興味深い記事の内容であり、pthonの実装を手元でも検証しようとしました。しかし、for文のインデントがずれていること、xIn=JVec_i[0]wave_iなど複数行においてエラーになってしまう状況です。
また、xIn=JVec_i[0]wave_i –xIn=JVec_i[0]*wave_i等推測でコードの整形をトライしてみたのですが、力不足もあり想定している出力が得られません。。
可能であれば動作可能なソースコードの共有をお願いできないでしょうか。
突然のお願いで恐縮ですが、どうぞよろしくお願いいたします。

Yoshiharu より:

2022年9月19日 10:40 PM

こちらの記事のソースコードのレイアウトも修正しました。
グラフも意図せず表示されていなかったので直しました。
ご連絡ありがとうございます。